معرفی و به کار گیری سوپر آلیاژها

معرفی و به کار گیری سوپر آلیاژها

دسته بندی	صنایع
فرمت فایل	doc
حجم فایل	70 کیلو بایت
تعداد صفحات	132

برای دانلود فایل روی دکمه زیر کلیک کنید

بررسی مقایسه میانگین ها

بررسی مقایسه میانگین ها

دسته بندی	ریاضی
فرمت فایل	doc
حجم فایل	604 کیلو بایت
تعداد صفحات	134

برای دانلود فایل روی دکمه زیر کلیک کنید
دریافت فایل

مقایسه میانگین‌ها

آزمونهای دونمونه ای

درمطالعات تجربی، شبه تجربی که درآنها عملکرد متغیر موردمطالعه درشرایط متفاوت باهم مقایه می‌شوند طبیعت پرسش درمورد معنی دار بودن تفاوت درمیانگین، پیش می‌آید. درچنین شرایطی به ندرت پرسش درموردطبیعت اطلاعات مطرح می‌شود. چرا که درمطالعات تجربی واقعی داده‌ها معمولاً حالت کلی به خود می‌گیرند. فرض کنید دریک مطالعه ساده تجربی درمورد یک داردکارایی آن دردوحالت متفاوت (گروه آزمایش و گروه شاهد) اندازه گیری شده است. میانگین‌هاممکن است ه طورقابل توجهی با هم تفاوت داشته باشند. آیا اگر مطالعه مجدداً تکرار شود. تفاوتهای مشابهی به وقت می‌آید؟ اینجاست که یک محقق می‌خواهد معنی دار بودن آماری تفاوت میانگین‌هابین دو گروه، آزمایش و شاهد را آزمایش کند.

روشهای پارامتری

در بیشتر مدلهایی که برای شیوه‌های استنباطی موردبحث قرارمی‌گیرد به طورتجربی ساختار معینی را دربارة توزیع جامعه فرض می‌کنند، رفتار آزمونها همه برمبنای این فرضا هستند که اندازه‌های پاسخ، نمونه‌هایی از جامعه‌های نرمال تشکیل می‌دهند. این شیوه‌ها برای ساختن استنباطهایی دربارة مقادیر پارامترهایطرحریزی شده اند که وقتی مجاز به استفاده از منحنی جامعه نرمال هستیم به کار می‌روند. به طورکلی، اینها را شیوه‌های استنباط پارامترهای نظریه نرمال می‌نامند.

نمونه‌های مستقل (واریانس نامعلوم)

وقتی هدف انجام مقایسه ای بین دوجامعه یا دو گروه است وضعیتی را بررسی می‌کنیم که درآن داده‌هابه شکل نمونه‌های تصادفی به حجم از جامعه 1 و به حجم از جامعه 2 تحقق یافته‌اند.

از جامعه 1

از جامعه 2

فرضهای کوچک نمونه ای

1) نمونه ای تصادفی از است.

2) نمونهن ای تصادفی از است.

3) مستقل اند.

فرض آزمون:

آماره آزمون:

فرض مقابل:

ناحیه رد در سطح معنی داری :

برمنظورمقایسه دربرنامه جهت آموزش کارگران صنعتی برای انجام کاری تخصصی 20کارگردرآزمایش شرکت داده می‌شوند. از بین آنهابه طورتصادفی 10نفر را برای آموزش به وسیله روش 1و10نفر بقیه را با روش 2 آموزش می‌دهند. بعدازتکمیل دورة آموزش همه کارگران درمعرض یک آزمون زمان و حرکت قرارمی‌گیرند که سرعت انجام یک کارتخصصی را ثبت می‌کند. داده‌های زیر به دست آمده اند:

24	27	16	18	21	16	23	11	20	15	روش 1
28	25	26	28	17	23	19	12	31	23	روش 2

فرض برابری دو برنامه آموزشی در برابر فرضرو می‌شود می‌توان نتیجه گرفت که آموزش به وسیله روش دوم بهتر ازروش اول می‌باشد.

وقتی که هردوحجم نمونه ای بزرگتر از25 یا 30 باشند لازم نیست که فرض کنیم توزیع جامعه‌های مادر، نرمال هستند زیرا قضیه حدمرکزی تضمین می‌دهد کهتقریباً به صورت تقریباً به صورت توزیع شده‌اند.

شیوه تصادفی کردن برای مقایسه در گروه

از واحد آزمایش موجود واحد را برای دریافت گروه 1 به طورتصادفی برگزینید و بقیه واحد را به گروه 2 نسبت دهید انتخاف تصادفی موجب می‌شود که تمام گزینش ممکن برای انتخاب شدن همشانس باشند.

در روش آزمایش فرضیه‌های عنوان شده نتوان فرض کرد که واریانسهای دو جامعه برابرند آنگاه روش آزمون فوق باید اصلاح گردد. در این صورت آماره آزمون به صورت زیر خواهد بود.

و درجه آزادی برای t برابرخواهد بود با:

نمونه‌های مستقل با واریانس معلوم

دوجامعه با میانگین‌های نامعلوم و واریانسهای معلوم را درنظر گیرید.

فرض آزمون:

آماره آزمون:

فرض مقابل:

ناحیه رد درسطح معنی داری :

نمونه‌های وابسته:

درمقایسه دو عامل مطلوب آن است که واحدهای آزمایش تا جایی که ممکن است همگن باشند، به طوری که اختلاف در پاسخهای بین دو گروه را بتوان به اختلافهای دو عامل نسبت داد. اگر بعضی شرایط قابل شناسایی که می‌توانند در پاسخ اثر کنند به طریقی کنترل نشده، مجاز به تغییر روی واحدها باشند آنگاه تغییرپذیری زیادی در اندازه‌ها به وجود می‌آید. دراین حالت اغلب مبنایی برای جفت کردن ارقام در دو نمونه وجود دارد. از طرف دیگر شرط همگنی ممکن است روی تعداد آزمودنیهای موجود در یک آزمایش مقایسه‌ای محدودیتی جدی را تحمیل کند. برای فراهم کردن سازش بین دو ضرورت مغایر همگن و تنوع واحدهای آزمایش مفهوم جورکردن یا بلوک‌بندی موضوعی بنیادی است. این شیوهن شامل انتخاب واحدها در گروهها یا بلوکهاست به طوری که واحدهای هربلوک همگن بوده و واحدهای بلوکهای مختلف متفاوت باشند. این روش کارایی مقایسه‌ای درون هربلوک را حفظ می‌کند و متفاوت بودن شرایط در بلوکهای مختلف را نیز اجازه می‌دهد. این طرح نمونه‌گیری به وسیلة زوجهای جور شده یا مقایسه زوجی نامیده می‌شود.

مقایسه زوجی:

واحدهای آزمایش زوج

1 2 1 واحدها در هر زوج شبیه هستند

2 1 2 واحدهای زوجهای مختلف ممکن است

بی‌شباهت باشند

1 2 n

ساختار داده‌ها برای یک مقایسه زوجی

تقاضل تیمار2 تیمار1 زوج

1

2

n

زوجهای مستقل هستند.

،

چون تفاضلهای از اثرهای بلوکی آزاد شده‌اند معقول است که فرض کنیم آنها تشکیل نمونه‌ای تصادفی از جامعه‌ای با میانگین و واریانس را می‌دهند.

آزمون مبتنی برآمارة آزمون زیر است.

مثال: ادعا شده است که یک برنامه ایمنی صنعتی که کاهش تضییع ساعات کار ناشی از نقص در ماشینهای کارخانه موثر است. داده‌های زیر مربوط به ضایع شدن ساعتهای کار هفتگی به واسطه نقض در 6دستگاه است که قبل و دیگری بعد از اجرای برنامه ایمنی جمع‌آوری شده‌اند.

دستگاه

6	5	4	3	2	1
15	28	37	16	29	12	قبل
16	25	35	17	28	10	بعد
1-	3	2	1-	1	2

d=(x-y)

باتوجه به اینکه فرض صفر رد نمی‌شود بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که برنامه ایمنی صنعتی در کاهش تضییع ساعات کار ناشی از نقص در ماشینهای کارخانه بی‌تأثیر است.

روشهای ناپارامتری

آمار ناپارامتری بخش اساسی از شیوه های استنباطی است که تحت دامنة وسیعتری از شکلهای توزیع جامعه معتبر است. اصطلاح استنباطی ناپارامتری از این واقعیت نتیجه می‌شود که کاربرد این شیوه‌ها به مدل‌بندی جامعه برحسب یک شکل پارامتری معین منحنیهای چگالی، مثل توزیع‌های نرمال، نیازی ندارد. در آزمون فرضها آماره‌های آزمون ناپارامتری نوعاً بعضی جنبه های سادة داده‌های نمونه را موارد استفاده قرارمی‌دهند مثل علامتهای اندازه‌ها، رابطه‌های ترتیب، یا فراوانیهای دسته‌ای، این طرحهای کلی، وجود یک مقیاس عددی معنی‌دار را برای اندازه‌ها لازم ندارد. به طور مستمر بزرگ یا کوچک بودن مقیاس در آنها تغییری نمی‌دهد.

نمونه‌های مستقل:

برای مطالعه مقایسه دو تیمار B A مجموعه ای از واحد آزمایشی به طور تصادفی به دو گروه بترتیب با حجمهای تقسیم می‌شوند. تیمار A در و تیمار B در واحد به کار می‌رود. اندازه‌های پاسخ، که مختصری متفاوت با نمادگذاری قبل نوشته می‌شوند عبارت‌اند از:

تیمار A

تیمار B

این دو گروه تشکیل نمونه‌های تصادفی مستقل از دوجامعه را می‌دهند. با فرض اینکه پاسخهای بزرگتر نمایشگر یک تیمار بهترند مایلیم این فرض صفر را که بین دو اثر تیمار اختلافی وجود ندارد در برابر فرض مقابل یک طرفه‌ای که تیمار A موثرتر از تیمار B است آزمون کنیم.

مدل: هر دو توزیع پیوسته‌اند.

فرضها:

: توزیعهای درجامعه یکسان‌اند.

: توزیع جامعه A به سمت راست توزیع جامعه B انتقال یافته است.

آزمون مجموع رتبه‌ای و شکل و یلکاکسن

فرض کنید بترتیب نمونه‌های تصادفی مستقل از جامعه‌های پیوسته A و B باشند، برای آزمون : جامعه‌‌ها یکی هستند.

1) مشاهده نمونه ترکیبی را به ترتیب افزایش مقدار رتبه‌بندی کنید.

2) برای نمونه اول مجموع رتبه‌ای را پیدا کنید.

3) الف: برای : جامعه A به سمت راست جامعه B انتقال یافته است؛ ناحیه رد را در دنباله بالایی

قراردهید.

ب: برای : جامعه A به سمت چپ جامعه B انتقال یافته است؛ ناحیه رد را در دنباله پایین

قراردهید.

ج: برای : جامعه‌ها مختلف‌اند؛ ناحیة رد را در هردو دنباله با احتمالهای برابر قراردهید.

آماره آزمون مجموع رتبه‌ای و یلکاکسن

= مجتمع رتبه‌های نمونة کوچکتر در رتبه‌بندی نمونه ترکیبی

وقتی که حجمهای نمونه‌ای برابرند، مجموع رتبه‌های یکی از نمونه‌ها را بگیرید.

جدول ……… ضمائیم احتمالهای دنبالة بالایی و هم چنین دنبالة پایینی را می‌دهد.

احتمال دنباله بالایی:

احتمال دنباله پایینی:

اگر بیان کنید که جامعة متناظر با :

الف) به سمت راست جامعه دیگر انتقال یافته است؛ ناحیه رد را به صورت اختیار کنید و C را به عنوان کوچکترین مقدار x بگیرید که برای آن

ب) به سمت چپ یا به سمت راست جامعه دیگر انتقال یافته است؛ ناحیه رد را به صورت بگیرید و را از ستون x^* و C₂ را از ستون x به دست آورید به طوری که

مثال: دو لایه از زمین ازنظر فنی بودن محتوای موادمعدنی آنها مقایسه می‌شوند. محتوای موادمعدنی هفت نمونه سنگ معدن جمع‌آوری شده از لایة 1 و پنج نمونه جمع‌آوری شده از لایه 2 به وسیله تجزیه و تحلیل شیمیایی اندازه‌گیری شده‌اند داده زیر به دست آمده‌اند.

1/15	1/6	4/9	8/9	8/6	1/11	6/7	لایه 1
		9/3	7/3	1/4	4/6	7/4	لایه 2

آیا محتوای مودمعدنی لایة 1 بیشتر از لایة 2 است؟

1/15	1/11	8/9	6/7	8/6	4/6	1/6	9/4	7/4	1/4	9/3	7/3	مقادیر ترکیبی مرتب
13	12	11	10	9	7	6	5	4	3	2	1	رتبه‌ها

مقدار مشاهده شده آمارة مجموع رتبه‌ای عبارت است از:

با استخراج از جدول ….. وقتی حجم نمونه کوچکتر مساوی 5 و حجم نمونه بزرگتر مساوی 7 است به دست می‌آوریم.

(فرض مقابل جامعه دوم متناظر با در سمت چپ جامع اول قراردارد).

و بنابراین ناحیة رد با به صورت بنا می‌شود. چون مقدار مشاهده شده در این ناحیه قرارمی‌گیرد فرض صفر در سطح رد می‌شود. یعنی محتوای معدنی لایه 1 بیشتر از لایه 2 است.

بررسی سیستم مختصات ریاضی

بررسی سیستم مختصات ریاضی

دسته بندی	ریاضی
فرمت فایل	doc
حجم فایل	22 کیلو بایت
تعداد صفحات	47

برای دانلود فایل روی دکمه زیر کلیک کنید
دریافت فایل

-1- سیستم مختصات ریاضی

سیستم مختصات کارتزین ( متعامد)

غالباَ ماشینهای NC دارای سه سپورت عمود بر هم می‌باشند. حرکات پیشروی در راستای این سه محور به طور ساده روی سیستم مختصات با محورهای موازی با محورهای سپورت توضیح داده می‌شود.

گوشه‌هی یک مکعب یک سیستم مختصات کارتزین را تشکیل می‌دهد( به شکل 1 ر.ک) نقطه صفر مختصات در اینجا روی گوشه زیرین چپ قرار دارد.

محورهای عمود بر هم مشخص شده سه راستای زیر را مشخص می‌کنند:

محور – X محور افقی،

محور – Y ها راستای عمق قطعه کار و محور Z- ها راستای عمودی. مشخصات قطبی دوبعدی ( صفحه‌ای) هر نقطه صفحه قطبی دارای فاصله قابل اندازه‌گیری R از نقطه قطب مختصات می‌باشد. خط ارتباط قطب و نقطه P با محور ثابت ( مثلاَ محور – X ها) زاویه قابل اندازه‌گیری را تشکیل می‌دهد. زاویه در خلاف حرکت عقربه‌های ساعت اندازه‌گیری می‌شود. هر نقطه P از صفحه با داده‌های زیر به طور وضوح مشخص می‌شود:

- نقطه قطب مختصات،

- شعات R و

- زاویه (فی).

مختصات قطبی غالباَ برای سوراخها که روی دایره تقسیم قرار می‌گیرند و دیگر موارد مشابه به کار می‌رود.

2-2- مختصات کاربردی در براده با ماشینهای – NC

جزئیات لازم برای تعیین واضح مختصات در فضای کار ماشینهای NC- طبق DIN 66217 مشخص می‌شود.

قانون دست راست

راستای محورهای مختصات با راستای حرکت سپورتها مطابقت دارد. مشخص کردن هر کدام از محورها روی قطعه کار طبق قانون دست راست انجام می‌گیرد. انگشتها جهت مثبت را نشان می‌دهد.

محور Z – ها

طبق DIN 66217 موقعیت محور Z- ها با راستای محور کار مطابقت می‌کند.

مثال؛ عمل سوراخکاری

محورها Z – ها با محور مته یکی است. جهت مثبت از قطعه کار به طرف ابزار است. موقعیت ابزار را می‌توان به کمک خط‌کش تعیین کرد.

برای سوراخکاری مقادیر منفی حاصل می‌شود. ( یعنی نفوذ مته داخل قطعه کار در جهت منفی محور Z – هاست). در ماشینهای تراش محور Z- افقی است،

ماشینهای NC- غالباَ برای انواع مختلف حرکتها ساخته می‌شود. بنابراین برای قطعات پیچیده، مختصات و راستاهای چرخش دیگری لازم است. این مختصات و راستاها روی سیستم مختصات کارتزین بنا می‌شود:

حروف به ترتیب الفبایی می‌آید. جهت محور چرخش را بدین‌ ترتیب تعیین می‌کنند که پیچ ( راس گرد) در راستای محور مربوطه بسته می‌شود.

ماشینهای ابزار مرکزی مثالی جهت کاربرد چندین محور می‌باشد:

محور Z در اینجا – طبق استاندارد معمول- در امتداد محور ابزار است. در قسمت چپ انباره دیسک مانند قرار دارد. حرکات چرخشی حول محورهای خطی X Y Z صورت می‌گیرد.

- ابزار فرز را می‌توان حول محور Z چرخاند،

- حرکت B مربوط به میز گردان است که قطعه کار روی آن بسته می‌شود.

- در دستور‌العمل هر دستگاه ( کاتالوگ دستگاه) در مورد تعیین محورها

2-3- انواع کنترلها

وظیفه اصلی یک ماشین NC- این است که ابزار و قطعه کار را نسبت به همدیگر حرکت دهد. این حرکت به روشهای مختلفی ممکن است انجام گیرد. مثلاَ می‌توان حرکتها را فقط در راستای محورهای مختصات( مثلاَ حرکت سپورتها) انجام داد. این روش کنترل حرکتها از نظر اقتصادی خیلی مناسب است. اما اگر خواسته شود حرکت در راستای منحنیهای مختلف اجرا شود کنترل گرانقیمت کامپیوتری لازم است( CNC ). بدین ترتیب کنترلهای – نقطه‌ای، خطی و منحنی به کار می‌رود.

کنترل نقطه‌ای

در فرآیند پانچ شکل مقابل موقعیت فعلی سنبه و موقعیت قبل از آن ( به صورت خط چین) نشانداده است. قبل از دومین مرحله پایین رفته سنبه، ابتدا به موازات محول X ، مطابق پیکان قرمز، حرکت می‌کند. بعد از رسیدن به این وضعیت عمل سوارخکاری اجرا می‌شود.

مشخصه

ابزار طی جابه‌جایی نباید با قطعه کار درگیر باشد.

توجه: در کنترل نقطه‌ای، عمل ماشینکاری به موازات محورها امکانپذیر است. در شکل نشانداده شده حرکت فرز به موازات محور X – ها انجام می‌گیرد.

مشخصه:

ماشینکاری فقط به موازات محورها انجام می‌گیرد.

کاربرد:

ماشینهای فرز، ماشینهای تراش برای قطعات ساده ( مثلاَ بدون مخروط).

کنترل 2 بعدی و 3 بعدی

برای حرکت روی منحنی داده شده کنترلهای گران قیمت لازم است. این کنترل باید بتواند محورهای مختلف را همزمان و مستقل از هم کنترل کند. برای ساخت قطعه تراشکاری طبق شکل 2 در قسمت نشانداده شده با رنگ قرمز کنترل همزمان محورها X- ها و Z- ها لازم است.

برای این منظور نقاط میانی منحنی در کنترل کامپیوتری محاسبه و به عنوان وضعیت به ماشین‌داده می‌شود. یک کنترل با دو محور قابل کنترل همزمان به عنوان کنترل دوبعدی ( 2D) مشخص می‌شود.

( بعد D=Dimension ) .

مشخصه:

هنگام ماشینکاری حرکت همزمان در راستاهای زیادی امکانپذیر است بدین وسیله می‌توان منحنیهای دلخواه ایجاد کرد.

کاربرد:

- ماشینهای فرز،

- ماشینهای تراش برای قطعات پیچیده

(منحنیها و شیبها) و

- ماشینهای برش شعله‌ای و غیره.

پیشرفت سریع میکروالکترونیک اجزای خیلی مناسب از نظر قیمت و توانایی را وارد بازار کرده است، بدین جهت اکثر کنترلها امروز به صورت کنترل منحنی ساخته می‌شوند.

برای ماشینکاری سطوح خمیده، اصولاَ کنترل منحنی در پنج محور لازم است. فرز نشانداده شده در شکل مقابل نه فقط در راستای محورهای y و z و x حرکت می‌کند، بلکه باید حول دو محور دیگر A B نیز نوسان کند. در شکل مقابل چرخش این محورها با پیکان و سطوح نقطه نقطه A و B مجسم شده است.

أ2-4- سیستم محرکه

محرکه محور اصلی

به جای موتورهای سنتی سه فاز با فرکانس شبکه از موتورهای سه‌فاز با فرکانس کنترل شده استفاده با کنترل مبدل ولتاژ شبکه یک جریان سه فاز ایجاد می‌شود:

1- فرکانس دو را کنترل می‌کند و

2- با شدت جریان گشتاور چرخشی کنترل می‌شود. بدین ترتیب کنترل پیوسته دور محور دستگاه درمحدوده وسیع امکانپذیر می‌شود. پیشرفت نیمه هادیها در کنترل جریانهای زیاد، این امر را ممکن ساخته است.

محرکه پیشروی

در اینجا نیز کاربرد موتورهای سه‌فاز به کنترل فرکانس روز به روز بیشتر می‌شود. این موتورها اصولاَ کمتر از موتورهای جریان مستقیم دچار مزاحمتهای ( پارازیتهای) کاری می‌شوند، زیرا کلکتور و جاروبک لازم ندارند.

موتورهای جریان مستقیم

در شکل مقابل یک موتور مستقیم با سیستم اندازه‌‌گیری نصب شده روی آن نشانداده شده است. موتورهای پیشروی اغلب به دفعات روشن و خاموش می شوند، بدین جهت این موتورها:

1) گشتاور خروجی بالا

2) جرم گردشی کوچک لازم دارند.

سر و موتورهای پله‌ای نیرو گشتاور کم

این موتورها به وسیله پالسهای الکتریکی به صورت پله‌ای به اندازه یک گردش گام مثلاَ به اندازه 1/12 دور حرکت می‌کنند. این موتورها فقط مخصوص نیروهای کوچک است.

محورهای ساچمه‌ای

حرکت چرخشی موتور پیشروی توسط یک محور روزه‌دار به حرکت خطی تبدیل می‌شود. تبدیل کم اصطکاک این حرکت با محورهای ساچمه‌ای امکانپذیر است.

معمولاَ این محورها به صورت دوتایی که نسبت به هم تحت تنش اولیه قرار دارند ( جهت از بین بردن اثر لقی) به کار می‌روند.

2-5- مدار کنترل

برای کنترل دقیق و اتوماتیک محورهای پیشروی مقادیر باید داده شده توسط کنترل به ماشین با مقادیر هست به دست آمده مقایسه می‌شود. شکل مقابل یک مثال عددی را نشان می‌دهد:

مقدار باید : 1500mm

مقدار هست:14859mm

مقدار اختلاف 0.142

حالا کامپیوتر چنین عمل می‌کند:

اختلاف کوچکی موجود است بدین جهت مدار کنترل به موتور پیشروی فرمان می‌دهد سرعت را کمی افزایش دهد تا به آرامی به وضعیت باید برسد.

مدار کنترل تا رسیدن دور موتور به مقدار باید داده شود سیگنال‌های افزایش یا کاهش دور را ارسال می‌کند.

1-3- اندازه‌گیری فاصله

یک ماشین NC- برای هر محور کنترل یک سیستم اندازه‌گیری ویژه فاصله لازم دارد. دقت تولید به دقت اندازه‌گیری فاصله بستگی دارد. دو نوع روش اندازه‌گیری – مستقیم فاصله و – غیر مستقیم فاصله وجود دارد.

در روش اندازه‌‌گیری مستقیم مقدار اندازه‌‌گیری با مقایسه مستقیم بدون واسطه طول مثلاَ از طریق شمارش خطوط شبکه خط تیره به دست می‌آید.

در این روش مقدار جا به جایی مستقیماَ روی میز اندازه گیری می‌شود.

در روش اندازه‌گیری غیر مستقیم طول به یک کمیت فیزیکی دیگر ( مثلاَ چرخش) تبدیل می‌شود. اندازه زاویه چرخش بعداَ به پالسهای الکتریکی تبدیل می‌شود. خطای گام محور، لقی بین مهره و محور باعث به وجود آمدن خطا در نتیجه اندازه‌‌گیری می شود. در این روش مقدار جابه جایی مستقیماَ اندازه‌گیری می‌شود.

اندازه‌گیری مستقیم فاصله( افزایشی)

برای اندازه‌گیری مستقیم فاصله، مثال شکل 1 اصول حس نوری یک مقیاس خطی را نشان می‌دهد.

اشعه نوری بالایی از شیار صفحه کلید گذشته و به هنگا حرکت مقیاس شیشه‌ای شعاع نور توسط خطوط قطع می گردد. یک فوتو المنت نوری حسس قطع شدن اشعه نوری را حس و آن را جهت شمارش به کنترل منتقل می‌کند. چنین اندازه‌گیری گام به گام با عنوان اندازه‌گیری افزایشی [1](Inkremental ) مشخص می‌شود.

شکافهای نوری زیری موقعیت نقطه مرجع را حس می‌کند. غالباَ نقطه صفر ماشین‌ با آن تعیین می‌شود.

اندازه‌گیری مستقیم فاصله، مطلق

در مثال نشانداده شده بالا فاصله پیموده شده با شمردن تعداد گامها( خطوط) تعیین می‌شود. در صورت قطع ولتاژ شبکه مقادیر عددی ذخیره شده در حافظه از بین می رود. در چنین موردی باید کل سیستم اندازه‌گیری مجدداَ به نقطه مرجع برگشته و اندازه‌گیری دوباره انجام شود، این اشکال فرایند با اندازه‌گیری مستقیم فاصله قابل رفع است. این سیستم اجازه می‌دهد که فوراَ برای هر وضعیت سپورت مقدار عددی موقعیت خوانده شود.

در مثال ساده شده ما، چهار اشعه نوری از طریق فوتوسل چهار ردیف روی خط‌کش رمز را حس می‌کند.

هر ردیف خانه‌های روشن وتاریک دارد. خانه‌های روشن مربوط به عدد صفر است. خانه‌های تاریک بسته به ردیف مربوطه نشاندندده عددهای مختلفی است.

با چهار اشعه نوری و به کمک سیستم اعداد دودویی[2] مقادیر عددی زیر بدست می‌آید:

ردیف1: 2⁰=1

ردیف 2:2¹=2

بررسی سریهای توانی

بررسی سریهای توانی

دسته بندی	ریاضی
فرمت فایل	doc
حجم فایل	803 کیلو بایت
تعداد صفحات	131

برای دانلود فایل روی دکمه زیر کلیک کنید
دریافت فایل

سریهای توانی [1]

یک سری به شکل *که در آن و.... اعدادی ثابت هستند، یک سری توانی از x می نامند . معمولاً برای راحتی سری *به صورت می نویسد در حالت کلی تر سری توانی به صورت است .

اگر به جای x مقدار ثابت r در نظر بگیریم سری توانی به یک سری عددی تبدیل می شود و همگرایی آن از روشهای همگرایی سری های عددی استفاده می شود .

نکته : هرگاه سری توانی به ازاء x=r که همگرا باشد ، آنگاه به ازاء هر x که به طور مطلق همگرا است هرگاه سری به ازاءx=s واگرا باشد آنگاه به ازاء هر x که نیز واگرا است .

تعریف بازه همگرایی: مجموعه نقاطی که به از‌ ‌آنها سری همگرا باشد ، همواره یک بازه است که به آن بازه ، بازه همگرایی می گویند.

نکته: سری توانی یکی از سه رفتار زیر را دارد :

الف ) سری فقط به ازاءx=0 همگرا است در این صورت بازه همگرایی I بازة [0 0] است

ب ) سری به ازاء هر x همگرا است د راین صورت است

ج) سری به ازاء مقادیر ناصفری از x همگرا و به ازاء سایر مقادیر واگراست

در این صورت،I یک بازه متناهی به شکل (-R R] [-R R) [-R R] (-R R)که R>0 است و این بسته به رفتار سری در نقاط x=-R x=R است که باید جداگانه بررسی شود . بازه همگرایی I ممکن است شامل یک یا هر دو نقطه انتهای نباشد به عبارت دیگر سری ممکن است به ازاءx=R یاx=-R همگرا باشد یا نباشد .

شعاع همگرایی :عدد R در نکته فوق شعاع همگرایی سری توانی نام دارد .

مثال : بازه همگرایی و شعاع همگرایی سری های توانی زیر را به دست آورید .

(‌الف

حل : از آزمون نسبت [2] نتیجه می شود که سری فوق به ازاء x=0 همگرا است زیرا :

مگر آنکه x=0 لذا R=0 I=[0 0]

(ب

حل : آز آزمون ریشه نتیجه می شود که سری به ازاء هر x همگرا است زیرا :

(ج

حل : معلوم می شود که

*

لذا سری به ازاء به طور مطلق همگرا به ازاء واگرا می باشد در نتیجه شعاع همگرایی 1 می باشد بازة‌ همگرایی [-1 1) است در واقع به ازاء x=1 سری * به سری توافقی واگرای تبدیل می شود . ولی به ازاx=-1 به سری متناوب به طور مشروط همگرای بدل خواهد شد

(د

حل : یک سری توانی است که فقط شامل توانهای زوج x است با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر یا معادلاو واگر است اگر یادر نتیجه شعاع همگرایی1می باشد. بازه همگرایی بازه بسته
می باشد. در واقع با گذاردن x=-1 x=1 در سری فوق یکسری بطور مشروط همگرا است .

(و

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر و واگراست اگر در نتیجه شعاع همگرایی سری 5 می باشد . بازه همگرایی بازه بسته [-5 5] می باشد

(هـ

حل : با استفاده از آزمون ریشه [3] داریم :

لذا سری برای هر x همگراست یعنی

(ی

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

و لذا اگر یا به عبارت دیگر سری توانی بطور مطلق همگرا است وبه ازاء سری توانی مفروض به صورتدر می آید که واگرا است لذا بازه همگرایی بصورت است و

مشتق گیری ازسری توانی

مثال : سری هندسیرا در نظر بگیرید این سری به مجموع می‌گراید هرگاه |x|<1 بنابراین سری توانی تابع f با ضابطه را تعریف می کند لذا :

*

مثال : اگر در * به جای x ، –x قرار دهیم ، داریم :

در * قرار میدهیم x=x² و بدست می آوریم .

چنانچه در * به جای x ، -x² گذاشته شود بدست می آید :

قضیه : اگر یک سری توانی با شعاع همگرایی R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری نیز R است . این قضیه حاکی است که شعاع همگرایی سری حاصل از مشتق گیری جمله به جمله از یک سری توانی مفروض ،‌ همان شعاع همگرایی سری مفروض است .

مثال : درستی قضیه فوق را در مورد سری توانی زیر تحقیق می کنیم:

شعاع همگرایی با استفاده از آزمون نسبت بدست می آید :

پس سری توانی به ازاء |x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ، R برابر1 است با مشتق گیری جمله به جمله از سری مفروض ، سری توانی زیر حاصل می شود :

آزمون نسبت را در مورد این سری توانی به کار می بریم وبدست می اوریم :

این سری توانی هم به ازاء|x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ،R` ، برابر است چون درستی قضیه فوق تأیید می شود .

قضیه :

اگر شعاع همگرایی سری توانی برابر R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری نیز برابر R است .

قضیه :گیریم یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی ‌اش R>0 است آنگاه اگر f` تابعی با ضابطه باشد ، به ازاء هر x دربارة باز وجود دارد و به صورت زیر معین می شود :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد

حل :‌ می دانیم که

با توجه به قضیه فوق از دو طرف رابطه بالا مشتق می گیریم داریم :

مثال : نشان دهید که به ازاء هر مقدار حقیقی x داریم :

حل: سری توانی به ازاء همة‌مقادیرحقیقی x به طور مطلق همگراست (‌چرا؟) بنابراین اگر f تابعی باشد که توسط رابطه زیر تعریف می شود :

*

آنگاه قلمرو f مجموعه تمام اعداد حقیقی است یعنی بازة‌همگرایی () است لذا به ازاء هر عدد حقیقی

لذا به ازاء‌تمام اعداد حقیقی لذا تابع f در معادله دیفرانسیل صدق کند که جواب عمومی آن است لذا به ازاء تابع ثابتی مانند C،و چون بنا به*، f(0)=1 پس C=1 و لذا f(x)=e^x

مثال : سری توانی بیابید که e^-x را نمایش دهد

حل :

مثال : نشان دهید

انتگرال گیری از سری توانی

قضیه: فرض کنید یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی اشR>0 است در این صورت اگر f تابعی با ضابطه باشد این تابع بر هرزیربازه بسته از (-R R) انتگرال پذیر است .وانتگرال f با انتگرال گیری جمله به جمله از سری توانی مفروض بدست می آید:یعنی اگر x در (-R R) باشد آنگاه :

علاوه بر این شعاع همگرایی سری حاصل R است

مثال: سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد

حل:

اگر به جای t² x قرار دهیم داریم :

به ازاء هر مقدارt

لذا با انتگرال گیری جمله به جمله ازسری داریم:

این سری توانی،انتگرال را به ازاء تمام مقادیرx نمایش می‌دهد .

مثال : درسری توانی قبل ،مقداررا با دقت سه رقم اعشار محاسبه کنید

حل :

این سری متناوب همگراست که در آن پس اگر برای تقریب کردن مجموع از سه جمله اول استفاده کنیم خطا از قدر مطلق جمله چهارم کوچکتر خواهد بود از سه جمله اول داریم :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد .

حل : تابع f را که به صورت در نظر می گیریم داریم :

لذا با جمله به جمله انتگرال گرفتن از سری توانی فوق داریم:

یا معادلش

تمرین : نشان دهید که

مثال : یک سری توانی بیابید که را نمایش دهد .

حل :‌می دانیم که

با انتگرال گیری جمله به جمله بدست می آوریم :

*

مثال : در * قرار دهید x=1 داریم:

سری دو جمله ای

بنا بر قضیه دو جمله ای هرگاه r عددصحیح نامنفی باشد آنگاه:

*

سری توانی**که در آن rعدد حقیقی دلخواهی‌است سری درجمله ای نام دارد .اگر r عددصحیح نامنفی باشد ،سری دوجمله ای مختوم بوده و به چند جمله ای* از درجه r تحویل می شود واین سری دارای شعاع همگرایی 1 میباشد (چرا؟) لذا تابع f(x) بر بازه (1،1-) تعریف شده است ، با مشتق گیری جمله به جمله از ** داریم :

که پس از ضرب در xبه صورت زیر در می آید :

لذا داریم

لذا تابع مجموع y=f(x) در معادله دیفرانسیل تحت شرط اولیه y(0)=1 صدق می کند لذا جواب معادله دیفرانسیل می باشد بنابراین:

مثال با استفاده از سری دو جمله ای نشان دهید که :

حل:می دانیم که : با انتگرال گیری از این سری دربازة‌همگرایی داریم :

مثال :‌نشان دهید که :

و با استفاده از آن نشان دهید که

حل : واگذارمی شود .

قضیه تیلور موارد کاربرد آن

قضیه تیلور :فرض کنید f در هر نقطه ازبازة‌I مشتق مرتبه n+1 متناهی داشته ،x a نقاط دلخواهی از I باشند در این صورت نقطه ای مانند t بین a و x هست که :

*

فرمول * را فرمول تیلور گویند به چند جمله ای تیلور به باقیمانده تیلور گویند .

مثال : تابع f(x)=e^x را بوسیله چهار چند جمله ای تیلور اول خود در مجاورت x=0 تقریب نمایید .

ترکیب e^x بوسیله چند جمله ای مکعبی p₃(x) از همه بهتر است در واقع بنا به قضیه تیلور که در آن

در نتیجه خطای تقریب روی تمام بازة مثبت و کوچکتر از مقدار زیر است .

مثال : با استفاده از فرمول تیلورنشان دهید که :

حل : با اختیار f(x)=sinx a=0 n=4 در فرمول تیلور و توجه به اینکه

داریم :

سریهای تیلور و مک لورن

بنابر فرمول تیلورهرگاه تابع f در هر نقطه از بازة‌I شامل نقطة a دارای مشتق مرتبه n+1ام متناهی باشد ، آنگاه به ازاء هرx/در I

که در آن باقیمانده R_n(x) عبارتست از :

سری متناهی *را در نظر می گیریم بدون توجه به همگرا بودن یا نبودن سری به f سری تیلور f در x=a نامیده می شود .حالتی که سری تیلور f همگرا به f است اهمیت بیشتری دارد در این صورت مجموع سری تیلور خود می باشد »

قضیه : (محک همگرایی برای یک سری تیلور ): سری تیلور * بر بازة I همگرا به f است اگر فقط اگر به ازاء هر x در **

در این صورت اگر ** برقرار باشد آنگاه

به ازاء a=0 سری تیلور *** به صورت زیر تحویل می شود که به آن سری مک لورن گویند :

مثال : سری مک لورن e^x را بیابید

مشروط بر اینکه سری راست همگرا به باشد برای تحقیق این امر باقیمانده را بررسی می کنیم :

که t بین x o قرار دارد واضح است که :

که در آن M ماکزیمم e^{t بر} بازة [0 x] است اگر x>0 یا بر بازة [x 0] است گه اگر x<0 یعنی

بعلاوه به ازا‌ء هر x ثابت

زیرا بنا به آزمون نسبت بطور مطلق همگرا است ولذا :

مثال سری مک لورن sin x را بیابید .

سری مک لورنxsin بصورت زیر می باشد

که باقیمانده آن مساوی است با :

که در آن t بین x 0 است چون به ازاء n t دلخواه لذا

ولذا بنابر این سری مک لورن sin x بر تمام بازه می باشد.

مثال سری مک لورن تابع را بدست آورید

مثال سری تیلور sinx را در بیابید

حل : واگذار می شود (راهنمایی )

مختصات قطبی[4]

مختصات قطبی به صورت زیر تعریف می‌شود:

فرض کنیم یک شعاع یا نیم خط ثابت ،به نام محور قطبی ، باشد که از نقطه ثابت o به نام مبدا یا قطب خارج شده است .

فرض کنید فاصله بین o p بوده و زاویه بین وپاره خط opباشد که ازبه opدرجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت سنجیده میشود،در این صورت گوییم نقطهp به مختصات قطبی است و p رابا جفت نشان داده ومی نویسیم p=. اگررا مختص شعاعی ورا مختص زاویه ای

pمی نامند .

کاربرد کامپیوتری بردارهای رتیز وابسته به بار، خصوصیات همگرایی و بسط آن به حالتهای عمومی تر بارگذاری

کاربرد کامپیوتری بردارهای رتیز وابسته به بار، خصوصیات همگرایی و بسط آن به حالتهای عمومی تر بارگذاری

دسته بندی	ریاضی
فرمت فایل	doc
حجم فایل	157 کیلو بایت
تعداد صفحات	183

برای دانلود فایل روی دکمه زیر کلیک کنید